Limites et continuité ...
Définition intuitive d'une limite
Exemple 2: l'aire du cercle unitaire
Définition mathématique
Définition intuitive de la continuité
Disontinuité: approche graphique
Définition mathématique continuité
Évaluation des limites
Forme indéterminée (exemple 1)
Forme indéterminée (exemple 2)
Forme indéterminée (exemple 3)
Révision
Définition mathématique d'une limite
Lorsque nous parlons de la limite d'une fonction, nous parlons de la valeur numérique b de laquelle s'approche une fonction f(x), donc y, lorsque x s'approche d'une valeur numérique a.
Nous utilisons les symboles mathématiques suivants pour représenter ce phénomène:
Ceci se lit: La limite de f(x) pour x s'appochant de «a» est égale à «b».
Exemple 1:
On cherche ici à déterminer de quelle valeur numérique l'expression «2x - 3» s'appoche lorsque «x» s'approche de la valeur numérique 4.
Solution:
Un tableau peut nous faire comprendre la signification de cette question et de sa réponse.
On observe d'abord le comportement de f(x) = 2x - 3 lorsque x s'approche de la valeur 4 par la gauche (donc avec des valeurs plus petites que 4 mais très proche de 4.)
| x | 3,9 |
3,99 |
3,999 |
3,9999 |
3,99999 |
|---|---|---|---|---|---|
| 2x - 3 | 4,8 |
4,98 |
4,998 |
4,9998 |
4,99998 |
On observe le comportement de f(x) = 2x - 3 lorsque x s'approche de la valeur 4 par la droite (donc avec des valeurs plus grandes que 4, mais très proches de 4.)
| x | 4,1 |
4,01 |
4,001 |
4,0001 |
4,00001 |
|---|---|---|---|---|---|
| 2x - 3 | 5,2 |
5,02 |
5,002 |
5,0002 |
5,00002 |
On conclut que la est
5.
Ici, nous aurions pu déterminer la limite par une simple substitution du nombre 4 dans l'expression 2x - 3.
