Calcul 30

Définition de la dérivée d'une fonction f(x) en tant que fonction

Dans la section précédente, nous avons établi une définition de la dérivée de f(x) en un point. Notre définition de f'(a) nous permet donc de déterminer la pente de la tangente à la courbe f(x) au point (a, f(a)). Le résultat obtenu est un nombre. Il nous faudrait donc répéter les calculs pour chaque valeur différente de "a".

Nous allons maintenant supposer que nous cherchons "une formule" qui nous permettrait de déterminer la pente de la tangente à la courbe f(x) en tout point du domaine de f(x). Nous cherchons donc une nouvelle fonction, f'(x), qui représente la pente de la tangente à la courbe f(x) en tout point x.

Pour obtenir la fonction f'(x), il suffit donc de remplacer "a" par "x" dans la formule .

Autres notations

Plusieurs autres notations sont fréquemment utilisées pour représenter la dérivée de f(x).

Nous allons illustrer par un exemple la différence entre l'utilisation de la formule f'(a) et f'(x) pour déterminer la pente de la tangente à la courbe f(x) = x³ - x + 5 au point (1,5). Pour voir cet exemple, cliquer sur exemple 1.

Deux autres exemples illustrent l'utilisation de la définition de la dérivée de f(x) pour calculer la fonction f'(x) et utiliser ce résultat pour déterminer la pente de la tangente à la courbe en un point (a, f(a))

Pour voir ces exemples, cliquer sur exemple 2 ou exemple 3.

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