Calcul 30

La dérivation implicite

Pour notre deuxième exemple, nous utiliserons une équation implicite pour laquelle il est impossible d'isoler y.

Soit l'équation x² + xy + y² = 1. Cette équation représente une ellipse. Observons le graphique.

Par dérivation implicite, nous pouvons déterminer y' . Voici les étapes de cette dérivation.

Remarquons que pour dériver xy, il est nécessaire d'utiliser la règle du produit puisque nous dérivons le produit u*v avec u = x et v = y. Il faut aussi se rappeler que y est une fonction de x. Pour dériver y² il faudra donc utiliser la règle de dérivation pour les fonctions de fonctions.

Il faut maintenant isoler y':

En substituant x = 1 et y = -1, nous pouvons déterminer la pente de la tangente à la courbe au point (1,-1).

Nous obtenons

Nous pourrions compléter ce problème en trouvant l'équation de la tangente à la courbe au point (1, -1).

Voici les étapes:

Puisque m = 1, nous substituons dans y = mx + b

y = x + b

Nous remplaçon x et y par le point (1,-1)

-1 = 1 + b et donc b = -2

L'équation de la tangente est donc y = x - 2

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