Le test de la dérivée seconde et les extremums relatifs ou absolus
Il existe un lien étroit entre la dérivée seconde et les extremums relatifs. Il est parfois pratique d'utiliser le test suivant pour localiser et carcactériser les extremums relatifs plutôt que d'étudier les changements de signe pour f '(x) autour des points critiques.
Le test de la deuxième dérivée:
Une fonction f admet un maximum relatif en x = a si f '(a) = 0 et que f ''(a) < 0 (concavité vers le bas).
Une fonction f admet un minimum relatif en x = a si f '(a) = 0 et que f ''(a) > 0 (concavité vers le haut).
Ce test de la deuxième dérivée est très facile à appliquer pour déterminer les extremums relatifs. Cependant il peut que arriver f ''(a) = 0 ou que f ''(a) n'existe pas, alors il faut avoir recours au test de la première dérivée et étudier les changements de f '(a)
Exemple
À l'aide du test de la deuxième dérivée, détermine les extremums relatifs de la fonction suivante:
Solution
Étape 1:
Trouver la dérivée première et la dérivée seconde de .
Étape 2:
Trouver les valeurs critiques de .
Étape 3:
Conclure:
f(-1) = -1, donc (-1, -1) est un minimum relatif;
f(0) = 0 , donc ( 0, 0 ) est un maximum relatif;
f(1) = -1 donc ( 1, -1 ) est un minimum relatif;
Représentation graphique de .
