Problème 2:

Monsieur et madame Bélanger doivent louer l’équipement pour faire leur cidre. Ceci leur coûte 50$. En plus les coûts pour produire une bouteille de cidre est de 2$.

Nous suggérons les approches suivantes pour analyser la situation.

• Construire un tableau pour analyser la situation avec Excel ou Quatropro
• Répondre à la question à partir du tableau
• Déterminer une équation qui représente la quantité à optimiser
• Tracer le graphique qui représente la quantité à optimiser
• Répondre à la question à partir du graphique
• Utilise le calcul différentiel pour résoudre le problème en suivant les étapes pour la solution algébrique.
• Répondre à la question d’après les résultat du travail algébrique
• Comparer les résultats et discuter les différences si approprié

Approche numérique

Pour résoudre ce problème, nous construisons un tableau. La variable n représente le nombre de fois que le prix de 12$ augmente de 1$. Nous savons que chaque augmentation de 1$ a pour résultat de faire baisser le nombre de bouteilles vendues de 2 unités . Nous allons définir les variables qui apparaissent dans le tableau numérique. Soit:

"n" le nombre de fois que le prix augmente de 1$

"p" le prix de vente d'une bouteille de cidre

"q" le nombre de bouteilles vendues

"R" le revenu en $ : R = p x

"C" le coût pour produire q bouteilles de cidre :C = 50 + 2q

"P" le profit : P = R - C

 

n	p	q	R	C	P
0	12	100	1200	250	950
1	13	98	1274	246	1028
2	14	96	1344	242	1102
3	15	94	1410	238	1172
4	16	92	1472	234	1238
5	17	90	1530	230	1300
6	18	88	1584	226	1358
7	19	86	1634	222	1412
8	20	84	1680	218	1462
9	21	82	1722	214	1508
10	22	80	1760	210	1550
11	23	78	1794	206	1588
12	24	76	1824	202	1622
13	25	74	1850	198	1652
14	26	72	1872	194	1678
15	27	70	1890	190	1700
16	28	68	1904	186	1718
17	29	66	1914	182	1732
18	30	64	1920	178	1742
19	31	62	1922	174	1748
20	32	60	1920	170	1750
21	33	58	1914	166	1748
22	34	56	1904	162	1742
23	35	54	1890	158	1732
24	36	52	1872	154	1718
25	37	50	1850	150	1700
26	38	48	1824	146	1678
27	39	46	1794	142	1652
28	40	44	1760	138	1622
29	41	42	1722	134	1588
30	42	40	1680	130	1550
31	43	38	1634	126	1508
32	44	36	1584	122	1462
33	45	34	1530	118	1412
34	46	32	1472	114	1358
35	47	30	1410	110	1300

 

Le tableau indique que le profit maximal corespond à n = 20. Ce résultat signifie que si le prix de vente d'une bouteille de cidre est augmenté de 1$ 20 fois, donc si on vend chaque bouteille de cidre 32$, la quantité vendue diminuera à 32 , mais les profits seront maimisés. Si on continue à augmenter le prix, la dimunition des ventes fera diminuer les profits. Donc Monsieur et Madame Bélanger devraientt vendre leur cidre 32$ la bouteille et en produire moins s'ils veulent maximiser leur profit.

 

Approche graphique

Pour pouvoir observer le graphique des revenus, il nous faut utiliser une équation qui relie le profit P à n, le nombre d'augmentation de 1$. Nous devons combiner les formules suivantes:

P = R - C

R = p x q = (12 + n)(100 - 2n) = 1200 + 76n -2n²

C = 50 + 2q = 50 + 2(100 - 2n) = 250 - 4n

P = ( 1200 + 76n - 2n²) - ( 250 - 4n) = 950 +80n - 2n²

Observons le graphique de P(n):



 

Le graphique confirme le résultat observé avec le tableau numérique.

Approche algébrique

Le calcul algébrique pour cette équation est très simple. Nous déterminons P'(n) et résolvons P'(n) = 0.



La solution n = 20 représente le nombre de fois que 12$ est augmenté de 1$. Tel que déjà mentionné, les profits deMonsieur et Madame Bélanger seront maximisés s'ils produisent et vendent 32 bouteilles de cidre au prix de 32$. Les profits seront alors de 1750$.