Lorsque l'on gonfle un ballon sphérique, plusieurs quantités changent en même temps: le rayon du ballon, sa surface et son volume.

1 À quelle vitesse la surface du ballon varie-t-elle en fonction du temps lorsque le rayon mesure 10 cm sachant que le rayon de la sphère augmente à une vitesse de 3 cm/sec ?
2 À quelle vitesse le volume du ballon varie-t-il en fonction du temps lorsque le rayon mesure 10 cm sachant que le rayon de la sphère augmente à une vitesse de 3 cm/sec ?
3 À quelle vitesse le volume du ballon varie-t-il en fonction du temps sachant que la surface de la sphère augmente à une vitesse de 20 cm2/sec lorsque le rayon mesure 10 cm?

Question 1:

Nous notons les quantités connues :
• le taux de variation du rayon: r'(t)=3 cm/sec
• le moment où nous voulons connaitre le taux de variation de la surface de la sphère: lorsque r = 10 cm

Nous identifions la quantité inconnue:
• le taux de variation de la surface de la sphère : S'(t)

Solution:

Donc au moment où le rayon de la sphère mesure 10 cm, la vitesse à laquelle la surface de la sphère augmente est approximativement de 754 cm²/sec.

Quesion 2:

Nous notons les quantités connues:
• le taux de variation du rayon: r'(t)=3 cm/sec
• le moment où nous voulons connaitre le taux de variation du volume de la sphère: lorsque r = 10 cm

Nous identifions la quantité inconnue:
• le taux de variation du volume de la sphère : V'(t)

Solution:

Donc au moment où le rayon de la sphère mesure 10 cm, la vitesse à laquelle le volume de la sphère augmente est approximativement de 3770 cm³/sec.