Problème #4:
Un bassin en forme de cône rempli de sable se vide lentement par un trou percé à sa pointe. Le cône a une hauteur H = 5 mètres et un rayon R = 3 mètres. Sachant que la quantité de sable dans le cône diminue à un taux de -1,6 m3 /min, on veut déterminer la vitesse à laquelle la hateur du sable dans le cône diminue.
Les données connues dans ce problème sont:
La quantité que nous cherchons à déterminer est:la vitesse à laquelle la hauteur du sable dans le cône diminue, soit h'(t)
Nous faisons un diagramme du cône:
La formule pour le volume d'un cône est :
Puisque la hauteur h du sable et le rayon r de la section du cône qui contient le sable varient en même temps que la quantité de sable qui reste dans le cône, il faut exprimer r en fonction de h et substituer cette expression dans la formule qui représente le volume du sable.
Pour déterminer r en fonction de h, nous utilisons la propriété des triangles semblables. Observons le diagramme suivant:
Nous pouvons maintenant substituer cette expression pour h dans la formule pour le volume du sable et dériver V(t) :
Le niveau du sable diminue à une vitesse approximative de 0,4 m/min lorsque le niveau du sable est de 2 mètres.