Problème 5:
Pierre marche vers le sud à une vitesse de 1,5 m/sec. Zoé part du même point et marche vers l'est à une vitesse de 2m/sec. Détermine à quelle vitesse la distance séparant Pierre et Zoé augmente deux minutes après leur départ.
Un diagramme aide à comprendre la situation. Choisissons x pour représenter la distance parcourue par Pierre à tout moment, y la distance parcourue par Zoé à tout moment et z la distance qui les sépare.
Les données connues dans ce problème:
La quantité que nous cherchons à déterminer: la vitesse à laquelle ils s'éloignent l'un de l'autre, z'(t).
Il faut utiliser la relation de Pythagore pour connecter les variables x, y et z qui sont des fonctions du temps puisqu'elles changent de valeurs à mesure que Pierre et Zoé marchent et dériver ensuite.
Nous voulons substituer les valeurs connues dans la dérivée pour obtenir z'(2).Nous connaissons x'(t) et y'(t). Il nous faut déterminer les valeurs de x, y et z. Ceci peut être fait en utilisant l'information au sujet des vitesses de marche de Pierre et Zoé. x représente la distance parcourue par Pierre en 2 minutes et y représente la distance parcourue par Zoé en 2 minutes.
Donc Pierre marche à une vitesse de1,5 m/sec pendant 2 minutes ou 120 secondes. Nous obtenons x = 120(1,5) = 180 mètres.
Zoé marche à une vitesse de 2 m/sec pendant 2 minutes ou 120 secondes. Nous obtenons y = 120(2) = 240 mètres.
Nous pouvons obtenir z en utilisant la relation de Pythagore:
Nous pouvons maintenant compléter la solution en substituant toutes les valeurs connues dans x(x'(t) + y(y'(t)) = z(z'(t) et en isolant z'(t).
La distance séparant Pierre et Zoé augmente de 2,5 mètres par seconde deux minutes après leur départ.