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Applications et résolutions de problèmes...


Problèmes de tangente

Introduction:

Exemple 1:

Exemple 2:

 

Vitesse et accélération

Vitesse moyenne:

Vitesse instantanée:

Accélération moyenne:

Accélération instantanée:

Problèmes:

 

L'optimisation

Introduction:

Étapes à suivre:

Aire et périmètre:

Volume et surface :

Distance:

Économie:

 

Les taux de variation

Introduction:

Aire et volume :

Économie:

Taux liés :

 

Les problèmes de taux liés

Nous allons reprendre ici les 2 problèmes discutés dans la section "taux de variation", aire et volume. Cependant nous allons modifier les questions posées en changeant de perspective.

Dans ces problèmes, les quantités changent en fonction du temps et on suppose qu'on connait la vitesse à laquelle une des quantités change en fonction du temps.

 

Problème #1:

 

Lorsqu'on lance un caillou dans l'eau, nous pouvons observer qu'une série de cercles concentriques se forment. Plusieurs quantités changent en même temps en fonction du temps:le rayon du cercle, la circonférence du cercle, l'aire du cercle. Ce mouvement est continue, mais nous cherchons à déterminer la vitesse du changement à un moment précis. Nous pouvons imaginer que nous observons le phénomène en mouvement et que nous l'arrêtons "soudainement" pour prendre des mesures. Dans cet exemple, nous pouvons supposer qu'un "odomètre" attaché au caillou enregistre les vitesses auxquelles le rayon change ainsi que la circonférence et l'aire des cercles. À chaque instant, nous pouvons lire les mesures. Nous pouvons donc répondre aux questions suivantes:

  1. À quelle vitesse la circonférence du cercle varie-t-elle en fonction du temps sachant que le rayon du cercle augmente à une vitesse de 2 cm/sec lorsque le rayon mesure 5 cm?
  2. À quelle vitesse l'aire du cercle varie-t-il en fonction du temps sachant que le rayon du cercle augmente à une vitesse de 2 cm/sec lorsque le rayon mesure 5 cm?

Dans cette approche, nous travaillons avec des fonctions de fonctions. Il faut donc dériver des fonctions de fonctions. Nous utilisons encore les formules de circonférence et d'aire, mais cette fois-ci, la circonférence et l'aire sont des fonctions de r qui est une fonction du temps.

Nous notons les quantités connues:

Nous identifions la quantité inconnue:

Solution (1):

 

Solution (2):

 

Problème #2:

Lorsque l'on gonfle un ballon sphérique, plusieurs quantités changent en même temps: le rayon du ballon, sa surface et son volume. Nous pouvons donc encore une fois poser plusieurs questions;

  1. À quelle vitesse la surface du ballon varie-t-elle en fonction du temps lorsque le rayon mesure 10 cm sachant que le rayon de la sphère augmente à une vitesse de 3 cm/sec ?
  2. À quelle vitesse le volume du ballon varie-t-il en fonction du temps lorsque le rayon mesure 10 cm sachant que le rayon de la sphère augmente à une vitesse de 3 cm/sec ?
  3. À quelle vitesse le volume du ballon varie-t-il en fonction du temps sachant que la surface de la sphère augmente à une vitesse de 20 cm2/sec lorsque le rayon mesure 10 cm?

Nous notons les quantités connues pour questions (1) et (2):

Note:Les valeurs connues sont substituées dans la formule après que la dérivation a été effectuée. Une erreur commune est de substituer ces valeurs trop tôt.

Nous identifions la quantité inconnue:

Nous suggérons de nouveau que l'élève tente de résoudre ce second problème en se basant sur le modèle présenté dans le problème #1 . Pour voir la solution et vérifier le travail, cliquer sur solution du problème #2(a).

Partie 3 du problème #2:

Nous notons les quantités connues pour questions (3):

Nous identifions la quantité inconnue:

Pour résoudre cette partie du problème, deux approches sont possibles:

Approche 1: Utiliser la formule du volume en fonction de la surface déjà développée dans la section sur les "taux de variation", aire et volume. Sachant que r = 10 cm, il est facile de connaitre la valeur de S lorsque r = 10.

Formule développée:

Approche 2: Utiliser les formules habituelles pour la surface et le volume de la sphère. Obtenir une valeur numérique pour r'(t) à partir de S'(t) et substituer cette valeur numérique dans V'(t).

L'élève est encouragé à essayer les 2 approches pour renforcir sa compréhension du concept de taux liés et pour découvrir par lui-même quelle approche lui semble plus simple.

Cliquer sur solution partie 3 pour vérifier le travail.

Nous allons suggérer 3 autres problèmes de taux liés. L'élève est encouragé à tenter de résoudre ces problèmes en suivant les modèles déjà présentés. Des suggessions de stratégie sont données pour guider l'élève dans sa démarche. Les solutions détaillées pour chacun de ces problèmes est accessible en cliquant sur solution à la fin de chaque problème.

Problème #3: On remplit un contenant cylindrique avec un liquide. Le cylindre a une hauteur de 5 mètres et un rayon de 3 mètres. Si on sait que la hauteur du liquide augmente à un taux de 0,5 m/min, on veut déterminer à quelle vitesse la quantité de liquide dans le cylindre augmente au moment où la hauteur du liquide dans le cylindre est de 2 mètres.

Les données connues dans ce problème sont:

La quantité que nous cherchons à déterminer est: le taux de variation du volume du liquide, soit V'(t)

Nous devons utiliser la formule pour le volume d'un cylindre. Soit

Pour éviter la confusion, nous utiliserons h pour représenter la hauteur du liquide dans le cylindre.

Solution du problème #3.

Problème #4:Un bassin en forme de cône rempli de sable se vide lentement par un trou percé à sa pointe. Le cône a une hauteur H = 5 mètres et un rayon R = 3 mètres. Sachant que la quantité de sable dans le cône diminue à un taux de -1,6 m3 /min, on veut déterminer la vitesse à laquelle la hauteur du sable dans le cône diminue.

Les données connues dans ce problème sont:

La quantité que nous cherchons à déterminer est: la vitesse à laquelle la hauteur du sable dans le cône dimine, soit h'(t)

Nous faisons un diagramme du cône:

La formule pour le volume d'un cône est :

Puisque la hauteur h du sable et le rayon r de la section du cône qui contient le sable varient en même temps que la quantité de sable qui reste dans le cône, il faut exprimer r en fonction de h et substituer cette expression dans la formule qui représente le volume du sable. Nous voulons une expression pour V en fonction de h seulement puisque nous connaissons h'(x). La propriété des triangles semblables nous permettra d'établir cette relation.

Nous pouvons ensuite déterminer V'(t).

Essaie de compléter les étapes pour résoudre le problème avant de visionner la solution en cliquant sur solution du problème 4.

Problème #5: Nous présentons maintenant un problème de taux liés concernant les distances.

Pierre marche vers le sud à une vitesse de 1,5 m/sec. Zoé part du même point et marche vers l'est à une vitesse de 2m/sec. Détermine à quelle vitesse la distance séparant Pierre et Zoé augmente deux minutes après leur départ.

Un diagramme aide à comprendre la situation. Choisissons x pour représenter la distance parcourue par Pierre à tout moment, y la distance parcourue par Zoé à tout moment et z la distance qui les sépare.

Les données connues dans ce problème:

La quantité que nous cherchons à déterminer: la vitesse à laquelle ils s'éloignent l'un de l'autre, z'(t).

Il faut utiliser la relation de Pythagore pour connecter les variables x, y et z qui sont des fonctions du temps puisqu'elles changent de valeurs à mesure que Pierre et Zoé marchent. Nous dérivons ensuite et substituons les valeurs connues dans la dérivée pour obtenir z'(2).

Essaie de compléter les étapes avant de visionner la solution en cliquant sur solution du problème 5.

Pour voir un résumé des étapes à suivre pour résoudre un problème de taux liés, cliquer sur étapes.

    

 

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